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Pour résoudre cette énigme,
il est fort utile (voire indispensable !)
de connaître la propriété suivante :
Pour connaître le nombre de diviseurs
d'un nombre (sans nécessairement les déterminer),
il suffit de décomposer ce nombre en facteurs premiers.
Par exemple, si on cherche le nombre de diviseurs de 360,
on écrira : 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5,
puis transcrit cela sous forme de puissances, ce qui donne
: 360 = 23 x 32
x 51.
On ne s'intéresse plus alors qu'aux puissances, en
l'occurence ici 3, 2
et 1, et on ajoute 1 à
chaque puissance, qui deviennent donc 4,
3 et 2.
On multiplie les nombres obtenus, ce qui donne 4
x 3 x 2 = 24 diviseurs
(en l'occurence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20,
24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, et 360).
Ahgrûhm peut ranger ses bananes en
tas égaux de 21 façons différentes,
ce qui signifie que le nombre N de bananes a 21
diviseurs.
Or 21 ne se décompose que de deux façons sous
la forme d'une multiplication :
21 = 1 x 21 (ou 21 x 1) ou alors 21 = 3 x 7 (ou 7 x 3).
N est donc de la forme a20,
où a est un nombre premier
(et il aura ainsi 20 + 1 = 21 diviseurs),
ou alors il est de la forme a2
x b6, a et
b étant premiers, et il
aura bien là encore
( 2 + 1 ) x ( 6 + 1 ) = 21 diviseurs.
Cependant, N est
divisible par 21, puisqu'Ahgrûhm a finalement
fait des tas de 21 fruits ; donc il
est divisible par 3 et par 7, et l'on peut affirmer
que la décomposition en facteurs premiers de N comporte
des 3 et des 7...
Le premier cas : N
= a20 est donc impossible,
et N est forcément de la forme N
= 32 x 76 ou de la forme 36
x 72.
Si N = 32
x 76, N = 1 058 841, ce qui, même
en mangeant 21 bananes par jour, correspondrait à de
la nourriture pour 1 058 841 : 21 = 50 421 jours, soit environ
138 ans. Ahgrûhm aurait donc alors 159 ans, ce qui est
une espérance de vie peu probable pour un chimpanzé,
à fortiori alimenté en bananes transgéniques...
Le deuxième cas : N
= 36 x 72 nous donne 35721 bananes,
soit 1701 jours de nourriture,
soit environ 4 ans et 8 mois.
Il faudra
donc lui racheter des bananes dans 1701 jours
et il en a reçu 35721 pour ses 21 ans.
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