Solution rédigée par Evariste (Merci encore !) :

Soit N le nombre cherché. Il est composé de 6 chiffres différents qu'on notera a, b, c, d, e et f. Donc N = 100 000 x a + 10 000 x b + 1 000 x c + 100 x d + 10 x e + f. Il existe 6 permutations circulaires possibles de ces 6 chiffres : abcdef, bcdefa, cdefab, defabc, efabcd, fabcde (les nombres en vert représentent la notation en base 10 de N). Si on additionne ces 6 possibilités, on obtient :

Vous remarquerez que, pour chaque "colonne", on obtient a + b + c + d + e + f... Le résultat de l'addition est donc :
100 000 x (a+b+c+d+e+f) + 10 000 x (a+b+c+d+e+f) + 1 000 x (a+b+c+d+e+f) + 100 x (a+b+c+d+e+f) + 10 x (a+b+c+d+e+f) + 1 x (a+b+c+d+e+f) = 111 111 x (a+b+c+d+e+f).
Or, puisque l'une des permutations vaut 2N, l'autre 3N, l'autre 4N, l'autre 5N et l'autre 6N, c'est aussi égal à N+2N+3N+4N+5N+6N = 21N.

Donc 21N = 111 111 x (a+b+c+d+e+f). Donc N = 5291 x (a+b+c+d+e+f).

Or 6N < 987 654 donc N < 164 609, et N > 123456.

Donc, en divisant par 5291, 23 < a+b+c+d+e+f < 31, avec a = 1 (a différent de 0, et si a > 1,6x(a+b+c+d+e+f) est un nombre à 7 chiffres...).

Si a+b+c+d+e+f = 24, N = 5291 x 24 = 126 984, mais 2N = 253 968, qui n'est pas composé des mêmes chiffres.
Si a+b+c+d+e+f = 25, N = 132 275, qui comporte 2 fois le même chiffre...
Si a+b+c+d+e+f = 26, N = 137 566 qui comporte 2 fois "6".
Si a+b+c+d+e+f = 28, N=148 148 qui a en "double", 1, 4 et 8...
Si a+b+c+d+e+f = 29, N = 153 439... Le "3" est en double.
Si a+b+c+d+e+f = 30, N = 158 730, mais 2N = 317 460 : ce ne sont pas les mêmes chiffres...

Par contre, si a+b+c+d+e+f = 27, N = 142 857, 2N = 285 714, 3N = 428 571, 4N = 571 428, 5N = 714 285 et 6N = 857 142, tous ces nombres étant composés des mêmes chiffres !

Donc le code du plan d'attaque est 142 857 !